Александр Ефимович родился 30 августа 1929 года в с. Первые Акуличи (Клетнянский район Брянской области) в простой крестьянской семье. Его мама, Наталья, с ранних лет прививала своему сыну любовь к поэзии, так как сама знала наизусть многие произведения таких великих авторов как Фёдора Тютчева, Афанасия Фета, Николая Некрасова, Сергея Есенина. Будучи именитым поэтом, он вспоминал, что в детстве его привлекала красота русской природы, которая окружала его на протяжении долгого времени. В десятилетнем возрасте Екимцев встретил войну, ужасы которой, отпечаталась в его памяти на долгие годы.
После окончания школы, Александр Ефимович вступил в ряды Красной Армии и проходил срочную службу на Дальнем Востоке. Тогда начали выходить его первые стихотворения в окружной военной газете «Суворовский натиск» и произведения для детей, которые Екимцев писал ранее, но они уходили «в стол». После окончания службы, Александр Ефимович вернулся в родные края, где на протяжении нескольких лет работал заведующим сельским клубом.
В 1956 г. Екимцев поступает на библиотечный факультет Московского института культуры. В том же году в журнале «Крестьянка» вышли его детские стихотворения, а через 6 лет большая подборка произведений была опубликована в известном на весь Советский Союз журнале «Мурзилка». В 1960 г. Александр Ефимович оканчивает институт и по распределению попадает на работу в Ставрополь, где началась плодотворная творческая работа. На протяжении десятилетия выходят поэтические сборники: «А мы реку встречали», «Деревушка на сосне», «Ехал дождик на коне» и т.д.
Ставропольский край стал для Екимцева второй родиной, поэтому Александр Ефимович активно занимался краеведением, ездил по местным деревням и сёлам, собирая сведения об особенностях местной культуры и истории.
Тема войны, героизма, любви к Родине также волновала Александра Ефимовича. Он известен как автор трёх поэм, объединённых одним замыслом: «Брянский лес» (1970), которая воссоздает картины борьбы партизан с фашистами; «Фронт над облаками» (1975), посвящённая защитникам Северного Кавказа; «В самый первый день войны» (1984), в которой опоэтизирован подвиг города-крепости Бреста. В 1972 году за поэму «Брянский лес» поэт был удостоен Всесоюзной литературной премии. Поэма «Фронт над облаками» получила премию им. А. Скокова.
Александр Екимцев умер в Ставрополе 15 апреля 1992 года.
